পেলিনড্ৰম (Palindrome) (পংকজ জ্যোতি মহন্ত)

পেলিনড্ৰম (Palindrome)

পংকজ জ্যোতি মহন্ত


যিবোৰ শব্দ, বাক্য বা ছন্দ সচৰাচৰ পঢ়াৰ ধৰণতকৈ বিপৰীত ফালৰ পৰা, অৰ্থাত সোঁফালৰ পৰা বাওঁফাললৈ পঢ়িলে একেই হয় সেইবোৰক পেলিনড্ৰম বোলে। যেনে- Refer, level, নৱজীৱন । সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত, এনেধৰণৰ সংখ্যবোৰক পেলিনড্ৰম সংখ্যা বোলে । যেনে- ২১৩১২, ৯৯।

তথ্য অনুসৰি, মধ্যযুগত ইউৰোপ, আমেৰিকাত পেলিনড্ৰম আৱিষ্কাৰ কৰাতো এটি খেলৰ দৰে আছিল আৰু গ্ৰীক, লেটিন আৰু ৰোমান ভাষাত ইয়াৰ চৰ্চা বেছিকৈ হৈছিল । তাতকৈ কিছু কম পৰিমাণে ইংৰাজী ভাষাতো বহুতো পেলিনড্ৰম পোৱা যায়। ভাৰতীয় ভাষাবোৰত পেলিনড্ৰম অতি কম । —এই গোটেই কথাখিনি একপ্ৰকাৰৰ উদ্ধৃতিহে, ইয়াক বিশ্লেষণেৰে প্ৰমাণ কৰিব পৰা উপায় হয়তো না ই।

বিভিন্ন ভাষাৰ কিছুমান পেলিনড্ৰম:-

অসমীয়া ভাষা:-
মৰম, তলত, কনক, মলম, কটক (উৰিষ্যা), নৱজীৱন ইত্যাদি ।
বৰ্তমান বহুল প্ৰচলিত “পাপা”ও এটা পেলিনড্ৰম ।

বঙালী ভাষা:-
“মিতু কোথায় থাকো তুমি”, সুবল লাল বসু, রমাকান্ত কামার (নাম) ।

হিন্দী ভাষা:-
डालडा, ৰাধা কী বুনিমে নিবু কী ধাৰা

ইংৰাজী ভাষা:-
Refer, level, madam, eye, Eve, deed, Malayalam (দক্ষীণ ভাৰতীয় এটি ভাষা), Idappadi (এখন চহৰ, তামিলনাডু)
Top part at a trap pot,
Able was I ere I saw Elba,
Madam, I’m Adam (আদমে ইভৰ লগত এনেদৰে পৰিচিত হৈছিল হেনো।)

ৰোমান ভাষা:-
Si nummi immunis (এজন ৰোমান উকীলে কোনোবা এজনক এনেদৰে কৈছিল। ইয়াৰ অৰ্থ give me my fee, and I warrant you free. উৎস:- পেলিনড্ৰম সম্পৰ্কীয় এটা প্ৰবন্ধ।)

পেলিনড্ৰম সংখ্যা:-

সংখ্যা এটাৰ লগত অৰ্থৰ কথাটো আহি নপৰে বাবে আমি পদ্ধতিগত বিশ্লেষণৰ স্বাধীনতা লাভ কৰোঁ। অৱশ্যে, ইয়াৰ লগত জড়িত নহ’লেও এইখিনিতে আন এটা কথাও উল্লেখ কৰিব পাৰি— যিকোনো এটা সংখ্যাৰেই কমেও এটা একক ধৰ্ম (unique property) থাকে। অতি সহজ উদাহৰণ কেইটামান হ’ল—

১ – যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যাক ১ ৰে পূৰণ কৰিলে সেই বাস্তৱ সংখ্যাটোৱেই পোৱা যায়, ১ মৌলিক সংখ্যাও নহয় যৌগিক সংখ্যাও নহয়, ই হ’ল কেৱল এটা ধনাত্মক ভাজক থকা একমাত্ৰ সংখ্যা, …..(আৰু বহুতো আছে।)

২ – আটাইতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা, একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা, ইয়াৰ লগত ইয়াতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ পূৰণ কৰিলে এটা মৌলিক সংখ্যা পোৱা যায়, ….(আৰু বহুতো আছে।)

৩ – ইয়াতকৈ ১ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাটো মৌলিক সংখ্যা আৰু ১ ডাঙৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাটো যৌগিক সংখ্যা (এনে মৌলিক সংখ্যা আৰু নাই), ইয়াতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাকেইটাৰ যোগফল ইয়াৰ সমান, ই মৌলিক আৰু লগতে ত্ৰিভূজীয় সংখ্যা, ….(আৰু বহুতো আছে।)

৪ – ২+২=৪ আৰু ২×২=৪ এনেদৰে একে দুটা সংখ্যাৰে যোগফল আৰু পুৰণফল হিচাপে পাব পৰা ই একমাত্ৰ সংখ্যা, ই ইয়াৰ মৌলিক ভাজককেইটাৰ যোগফলৰ সমান, ….(আৰু বহুতো আছে।)
ইয়াত সহজে বুজিব পৰা ‘একক ধৰ্ম’ কেইটামানহে দিয়া হৈছে আৰু সহজে বুজিব পৰা হ’লেও ইয়াৰো কোনোটোৰ প্ৰমাণ অতি কঠিন।

এতিয়া পেলিনড্ৰম সংখ্যা প্ৰসংগটোলৈ যাওঁ।

১১, ২২,…. ৯৯ আদি সংখ্যাকেইটা পেলিনড্ৰম সংখ্যা। অলপ মন কৰিলেই দেখিম, দুটা অংকৰে গঠিত কেৱল এই সংখ্যাকেইটাই পেলিনড্ৰম সংখ্যা। অৰ্থাৎ, দুটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ সংখ্যা ৯ টা।

তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা এটা পেলিনড্ৰম সংখ্যা হ’বলৈ হ’লে সংখ্যাটোৰ গঠন “কখক” ধৰণৰ হ’ব লাগিব । যেনে- ১৬১, ৩৪৩। অৰ্থাৎ, এনে সংখ্যাত একক আৰু শতকৰ স্থানত ১ ৰ পৰা ৯ লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব পাৰিব আৰু দহকৰ স্থানত ০ ৰ পৰা ৯ লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব পাৰিব। (এই সংখ্যাবোৰৰ একক আৰু শতকৰ স্থানত ০ থাকিব নোৱাৰে, কাৰণ তেতিয়া সংখ্যাটো তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা হৈ নাথাকিব।) এতিয়া, যদি একক আৰু শতকৰ স্থানত ১ থাকে তেন্তে পেলিনড্ৰম তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাবোৰ হ’ব- ১০১, ১১১, ১২১, ১৩১, ১৪১, ১৫১, ১৬১, ১৭১, ১৮১ আৰু ১৯১। মুঠ দহটা। গতিকে, তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যা ৯×১০=৯০ টা।

আনহাতে, চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা এটা পেলিনড্ৰম সংখ্যা হ’বলৈ হ’লে, সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো হাজাৰৰ ঘৰৰ অংকটোৰ সমান আৰু দহকৰ ঘৰৰ অংকটো শতকৰ ঘৰৰ অংকটোৰ সমান হ’ব লাগিব। অৰ্থাত সংখ্যাটো দেখাত এনেকুৱা হ’ব- কখখক। ইয়াতো যদি হাজাৰৰ ঘৰৰ অংকটো ০ হয়, তেন্তে সংখ্যাটো চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা হৈ নাথাকিব। গতিকে হাজাৰৰ ঘৰৰ আৰু এককৰ ঘৰৰ অংকটো ০ হ’ব নোৱাৰে, সেয়েহে এই দুটা স্থানত ১ ৰ পৰা ৯ লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব পাৰিব। আৰু বাকী দুটা স্থানত ০ ৰ পৰা ৯ লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব। গতিকে তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত হোৱাৰ দৰে চাৰিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যাও ৯×১০=৯০ টা।

চাৰিটাতকৈ অধিক অংকৰ ক্ষেত্ৰত বৰ্ণনাখিনি অলপ দীঘলীয়া হ’ব, কিন্তু অলপ সুক্ষ্মভাবে চালেই আমি দেখা পাম— পাঁছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা আছে মুঠ ৯০০ টা আৰু একেদৰে ছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যাও ৯০০ টা; সাতটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যা ৯০০০ টা, আঠটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যাও ৯০০০ টা……. ইত্যাদি।

৯, ৯০, ৯০, ৯০০, ৯০০, ৯০০০, ৯০০০…… এই সংখ্যাবোৰত এটা বিশেষ সজ্জা নিহিত হৈ আছে। সেইখিনি হ’ল—
৯ = ৯×১০⁰
৯০ = ৯×১০¹
৯০ = ৯×১০¹
৯০০ = ৯×১০²
৯০০ = ৯×১০²
৯০০০ = ৯×১০³
৯০০০ = ৯×১০³
.
.
.
এই সজ্জাটোক পুনৰ সজাই লিখিব পৰা যাব—

৯ = ৯×১০⁰ = ৯×১০^{২/২ -১}
৯০ = ৯×১০¹ = ৯×১০^{(৩-১)/২}
৯০ = ৯×১০¹ = ৯×১০^{৪/২ -১}
৯০০ = ৯×১০² = ৯×১০^{(৫-১)/২}
৯০০ = ৯×১০² = ৯×১০^{৬/২ -১}
৯০০০ = ৯×১০³ = ৯×১০^{(৭-১)/২}
৯০০০ = ৯×১০³ = ৯×১০^{৮/২ -১}
.
.
.
অৰ্থাত, যদি n এটা অযুগ্ম সংখ্যা হয় তেন্তে n টা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা থাকিব = ৯×১০^{(n-১)/২} টা।
আৰু যদি n এটা যুগ্ম সংখ্যা হয় তেন্তে n টা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা থাকিব = ৯×১০^{(n/২) -১} টা

এতিয়া আমি ক’ব পাৰিম— এক কোটিতকৈ সৰু পেলিনড্ৰম সংখ্যা কিমানটা আছে?
উত্তৰ— ১০+৯+৯০+৯০+৯০০+৯০০+৯০০০ টা
বা
১০ + ৯×১০⁰ + ৯×১০¹ + ৯×১০¹ + ৯×১০² + ৯×১০² + ৯×১০³ টা
= ১০,৯৯৯ টা।

আনকি, যিমানেই ডাঙৰ নহওক যিকোনো এটা সংখ্যাতকৈ সৰু পেলিনড্ৰম সংখ্যা কিমান আছে আমি এতিয়া সহজেই উলিয়াব পাৰিম।

কেইটামান প্ৰমেয় :-

(ইয়াৰ প্ৰমাণসমূহ আগবঢ়োৱাৰ পৰিৱৰ্তে কেৱল এটাকৈ উদাহৰণ দিলোঁ। আনহাতে আপোনালোকৰ ঘৰত যদি হাইস্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে বা গণিত অলিম্পিয়াদ দিবলৈ আগ্ৰহী যিকোনো শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে তেওঁলোকক এই প্ৰমাণকেইটা কৰিবলৈ প্ৰশ্ন হিচাপে দিবলৈ অনুৰোধ জনালো।)

১) ১ ৰ পৰা ৯ লৈ যিকোনো পাঁছটা অংক লৈ গঠিত, পাঁছটা অংকৰ সংখ্যাসমূহৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰিলে, বিয়োগফল ৯৯ ৰে বিভাজ্য আৰু ভাগফলটো এটা তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা।

উদাহৰণ— ২, ৩, ৪, ৭, ৮ –এই পাঁছটা অংক লোৱা হ’ল।
গতিকে, ৮৭৪৩২-২৩৪৭৮=৬৩৯৫৪=৯৯×৬৪৬
আৰু ৬৪৬ এটা তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা।

২) ১ ৰ পৰা ৯ লৈ যিকোনো সাতটা অংক লৈ গঠিত, সাতটা অংকৰ সংখ্যাসমূহৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰিলে, বিয়োগফল ৯৯ ৰে বিভাজ্য আৰু ভাগফলটো এটা পাঁছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা হ’ব যদিহে অংককেইটা অধোক্ৰমত সজালে প্ৰথম আৰু তৃতীয় অংক দুটাৰ সমষ্টি আৰু পঞ্চম আৰু সপ্তম অংক দুটাৰ সমষ্টিৰ অন্তৰ ১০ ত কৈ কম হয়।

উদাহৰণ— ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯ –এই সাতটা অংক লোৱা হ’ল।
ইয়াত অধোক্ৰমত সজালে পাম ৯, ৮, ৭, ৬, ৫, ৩, ২ আৰু ৯+৭-৫+২ = ৯ < ১০।
গতিকে, ৯৮৭৬৫৩২-২৩৫৬৭৮৯=৭৫১৯৭৪৩=৯৯×৭৫৯৫৭
আৰু ৭৫৯৫৭ এটা পাঁছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা।

দশমিক প্ৰণালীৰ উপৰি আন সংখ্যা-প্ৰণালীটো অসংখ্য পেলিনড্ৰম সংখ্যা আছে। এইসমূহৰ অধ্যয়নো বিস্তৃত । আনহাতে বহুপদ ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতো পেলিনড্ৰমৰ অধ্যয়ন জড়িত আৰু পেলিনড্ৰম সংখ্যা সংক্ৰান্তীয় অধ্যয়নতো বিভিন্ন ধৰণৰ বহুপদ ৰাশি জড়িত কৰি লোৱা হয়। যিবোৰ মৌলিক সংখ্যা পেলিনড্ৰম সংখ্যাও সেইবোৰক পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যা বোলা হয়। যেনে— ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১০১, ১৩১ ইত্যাদি। এতিয়ালৈকে আৱিস্কৃত আটাইতকৈ ডাঙৰ পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যাটো ইয়াৰ লগত দিয়া ফটোখনত দিয়া হৈছে; এই সংখ্যাটো ২৭৫৪৯৫ টা অংকৰে গঠিত। গুৰুত্বপূৰ্ণ কথাটো হ’ল— এই সংখ্যাটোক কিছু অনুধাৱন কৰিবলৈয়ো সংখ্যাতত্বৰ অতি তীক্ষ্ণধী গণিতজ্ঞসকলহে সক্ষম। ফটোখনত দেখিবলৈ পোৱা “cyclotomic polynomial” ৰ সম্পৰ্কেও সংখ্যাতত্বৰ খুব কমসংখ্যক ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়েহে ভালকৈ জানি উঠিবলৈ সক্ষম হয়…।

আশা কৰোঁ পাঠকে কিছু কৌতূহল লাভ কৰিছে। বিভিন্ন পেলিনড্ৰম, অৰ্থাত শব্দ, বাক্য আদিৰ বাবে পাঠকে ৱিকিপিডিয়াৰ লগতে তলৰ লিংককেইটা চাব পাৰে । আমি মাজে মাজে অসমীয়া পেলিনড্ৰমবোৰ আৱিস্কাৰ কৰা “খেল”টোও খেলিব পাৰোঁ…।

http://en.wiktionary.org/wiki/Appendix:Palindromic_words
http://norvig.com/pal1txt.html
http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/palinsen.htm
http://en.wikiquote.org/wiki/Palindrome

 

Subscribe
Notify of
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments